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Exemples réels
Exemple 1 · juste
Question telle qu’elle est : Let $C$ be the straight path from $(0, 0)$ to $(8, 8)$ and let $\vec F=(y-x+3)\vec i+(\sin(y-x)+3)\vec j$.
(a) At each point of $C$, what angle does $\vec F$ make with a tangent vector to $C$? angle=[ANS]
(Give your answer in radians.) (Give your answer in radians.) (b) Find the magnitude $\Vert \vec F\Vert$ at each point of $C$. $\Vert \vec F\Vert=$ [ANS]
Evaluate $\int_C \vec F \cdot d\vec r$. $\int_C \vec F \cdot d\vec r=$ [ANS]
Réponse attendue : ['0', 'sqrt(18)', '3*8*2']
Réponse de Sophie : (a) Le vecteur champ $\vec{F}$ est constant le long de $C$ (car $y - x = 0$), donc $\vec{F} = (3, 3)$. Le vecteur tangent à $C$ est $(1, 1)$. Le produit scalaire $\vec{F} \cdot \vec{T} = 3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 6$, et les normes sont $\|\vec{F}\| = 3\sqrt{2}$ et $\|\vec{T}\| = \sqrt{2}$. Ainsi, $\cos \theta = \frac{6}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = 1$, donc $\theta = 0$ radians.
(b) La norme de $\vec{F}$ est $\sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}$.
(c) L'intégrale $\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r}$ se calcule en utilisant la paramétrisation $r(t) = (t, t)$, avec $t \in [0, 8]$. $\vec{F} = (3, 3)$ et $d\vec{r} = (dt, dt)$, donc $\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_0^8 (3 + 3) dt = 6 \cdot 8 = 48$.
Reponse : 0; 3√2; 48
(Ce resultat n'est pas verifie : relis les etapes.)
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Exemple 2 · juste
Question telle qu’elle est : Electric charge is distributed over the disk $x^2+y^2 \leq 16$ so that the charge density at (x,y) is $\sigma(x,y)=12+x^2+y^2$ coulombs per square meter. Find the total charge on the disk. [ANS]
Réponse attendue : ['1005.30964914873']
Réponse de Sophie : Pour trouver la charge totale du disque, nous devons intégrer la densité de charge sur l'ensemble du disque.
### Étapes de la résolution :
1. **Définition de la densité de charge** :
$$
\sigma(x, y) = 12 + x^2 + y^2
$$
2. **Représentation en coordonnées polaires** :
- Le disque est défini par $ x^2 + y^2 \leq 16 $, donc $ r \in [0, 4] $.
- En coordonnées polaires : $ x = r \cos\theta $, $ y = r \sin\theta $, $ dA = r\,dr\,d\theta $.
- La densité de charge devient : $ \sigma(r) = 12 + r^2 $.
3. **Calcul de la charge totale $ Q $** :
$$
Q = \iint_{x^2 + y^2 \leq 16} \sigma(x, y)\,dA = \int_0^{2\pi} \int_0^4 (12 + r^2) r\,dr\,d\theta
$$
4. **Calcul de l'intégrale en $ r $** :
$$
\int_0^4 (12 + r^2) r\,dr = \int_0^4 (12r + r^3)\,dr = \left[6r^2 + \frac{r^4}{4}\right]_0^4 = 6(16) + \frac{256}{4} = 96 + 64 = 160
$$
5. **Calcul de l'intégrale en $ …
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Exemple 3 · juste
Question telle qu’elle est : Find the general solution of the first-order linear differential equation y'-(\ln x)y=8x^x. $y(x)=$ [ANS]
Note: Use $C$ for the arbitrary constant.
Réponse attendue : ['8*x^x+C*x^x*e^(-x)']
Réponse de Sophie : Pour résoudre l'équation différentielle linéaire du premier ordre $ y' - (\ln x)y = 8x^x $, nous suivons les étapes suivantes :
1. **Forme standard** : L'équation est déjà sous la forme $ y' + P(x)y = Q(x) $, où $ P(x) = -\ln x $ et $ Q(x) = 8x^x $.
2. **Facteur d'intégration** : Le facteur d'intégration $ \mu(x) $ est donné par $ \mu(x) = e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int -\ln x \, dx} $. En calculant l'intégrale, on obtient $ \mu(x) = e^{-x \ln x + x} = \frac{e^x}{x^x} $.
3. **Multiplication par le facteur d'intégration** : En multipliant l'équation par $ \mu(x) $, on obtient :
$$
\frac{d}{dx}\left( \mu(x)y \right) = 8x^x \cdot \mu(x)
$$
En simplifiant le membre de droite, on trouve $ 8x^x \cdot \frac{e^x}{x^x} = 8e^x $.
4. **Intégration** : En intégrant les deux côtés, on obtient :
$$
\mu(x)y = 8e^x + C
$$
En résolvant pour $ y $, on divise par $ \mu(x) $ :
…
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Exemple 4 · faux
Question telle qu’elle est : Suppose we have a laterally insulated metal rod of length 1, parametrized by length, starting with 0 at the left hand endpoint. Suppose the insulation is not perfect and there is lateral heat loss. Suppose left hand endpoint is kept at temperature-2 and right hand endpoint is perfectly insulated.
Which equation most likely governs this setup: [ANS] u_t=\alpha^2 u_{xx}-8 t [ANS] u_t=\alpha^2 u_{xx}-8 u_x [ANS] u_{tt}=\alpha^2 u_{xx} [ANS] u_{tt}+u_{xx}=0 [ANS] u_t=\alpha^2 u_{xx}-8 u [ANS] u_t=\alpha^2 u_{xx} [ANS] u_t=\alpha^2 u_{xx}-8x
Which boundary conditions are the correct ones: [ANS] u_x(0,t)=-2, \quad u(1,t)=0 [ANS] u(0,t)=-2, \quad u_x(1,t)=0 [ANS] u_x(0,t)=-2, \quad u_x(1,t)=-2 [ANS] u(0,t)=-2, \quad u(1,t)=0 [ANS] u_x(0,t)=-2, \quad u_x(1,t)=0 [ANS] u(0,t)=0, \quad u(1,t)=-2
Réponse attendue : ['Choice 5', 'Choice 2']
Réponse de Sophie : L'équation de la chaleur régit la situation, car elle modélise la diffusion de la chaleur dans la tige. La perte de chaleur latérale est prise en compte via les conditions aux limites, pas via un terme supplémentaire dans l'équation. La condition à l'extrémité gauche (température fixe) est une condition de Dirichlet, et l'isolation parfaite à l'extrémité droite correspond à une condition de Neumann (flux nul).
**Équation :**
L'équation est la standard $ u_t = \alpha^2 u_{xx} $, car aucun terme supplémentaire n'est mentionné dans l'énoncé.
**Conditions aux limites :**
- $ u(0,t) = -2 $ (température fixe à gauche).
- $ u_x(1,t) = 0 $ (flux nul à droite, isolation parfaite).
**Réponse :**
u_t=\alpha^2 u_{xx}; u(0,t)=-2, \quad u_x(1,t)=0
(Ce resultat n'est pas verifie : relis les etapes.)
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Exemple 5 · faux
Question telle qu’elle est : In this problem we determine the conjugacy class of the elements $a^{6} b^0$ and $a^{6} b^1$ in the dihedral group $D_{11}$.
Complete the table by entering Y or N in each entry:
$\begin{array}{ccc}\hline i & is a^i b^0conjugate to a^{6} b^0? & is a^i b^1conjugate to a^{6} b^1? \\ \hline 0 & [ANS] & [ANS] \\ \hline 1 & [ANS] & [ANS] \\ \hline 2 & [ANS] & [ANS] \\ \hline 3 & [ANS] & [ANS] \\ \hline 4 & [ANS] & [ANS] \\ \hline 5 & [ANS] & [ANS] \\ \hline 6 & [ANS] & [ANS] \\ \hline 7 & [ANS] & [ANS] \\ \hline 8 & [ANS] & [ANS] \\ \hline 9 & [ANS] & [ANS] \\ \hline 10 & [ANS] & [ANS] \\ \hline \end{array}$
Réponse attendue : ['N', 'Y', 'N', 'Y', 'N', 'Y', 'N', 'Y', 'N', 'Y', 'Y', 'Y', 'Y', 'Y', 'N', 'Y', 'N', 'Y', 'N', 'Y', 'N', 'Y']
Réponse de Sophie : Pour déterminer si un élément $ a^i b^0 $ ou $ a^i b^1 $ dans le groupe diédral $ D_{11} $ est conjugué à $ a^6 b^0 $ ou $ a^6 b^1 $, nous devons utiliser la définition de la conjugaison dans le groupe diédral.
### 1. Structure du groupe diédral $ D_{11} $
Le groupe diédral $ D_{11} $ est un groupe non abélien de ordre $ 2 \times 11 = 22 $. Il est engendré par deux éléments $ a $ et $ b $ avec les relations suivantes :
- $ a^{11} = e $
- $ b^2 = e $
- $ b a b^{-1} = a^{-1} $
Ces relations nous permettront de calculer les conjugués d’un élément.
---
### 2. Conjugaison dans $ D_{11} $
Soit $ x = a^i b^j $, $ y = a^k b^l $, alors :
$$
y x y^{-1} = y x y
$$
Comme $ b^2 = e $, $ y^{-1} = y $ si $ y = b^j $, et $ y = b^j $, donc :
$$
y x y = b^j a^i b^j a^{-i} b^{-j} = b^j a^i b^j a^{-i} b^{-j}
$$
Mais c’est plus facile de calculer directement la conjugaison d’un élément $ a^i b^j …
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Exemple 6 · faux
Question telle qu’elle est : In this problem we determine the conjugacy class of the elements $a^{6} b^0$ and $a^{6} b^1$ in the dihedral group $D_{11}$.
Complete the table by entering Y or N in each entry:
$\begin{array}{ccc}\hline i & is a^i b^0conjugate to a^{6} b^0? & is a^i b^1conjugate to a^{6} b^1? \\ \hline 0 & [ANS] & [ANS] \\ \hline 1 & [ANS] & [ANS] \\ \hline 2 & [ANS] & [ANS] \\ \hline 3 & [ANS] & [ANS] \\ \hline 4 & [ANS] & [ANS] \\ \hline 5 & [ANS] & [ANS] \\ \hline 6 & [ANS] & [ANS] \\ \hline 7 & [ANS] & [ANS] \\ \hline 8 & [ANS] & [ANS] \\ \hline 9 & [ANS] & [ANS] \\ \hline 10 & [ANS] & [ANS] \\ \hline \end{array}$
Réponse attendue : ['N', 'Y', 'N', 'Y', 'N', 'Y', 'N', 'Y', 'N', 'Y', 'Y', 'Y', 'Y', 'Y', 'N', 'Y', 'N', 'Y', 'N', 'Y', 'N', 'Y']
Réponse de Sophie : Pour résoudre ce problème, nous devons déterminer si les éléments $ a^i b^0 $ et $ a^6 b^0 $ sont conjugués dans le groupe diédral $ D_{11} $, ainsi que si $ a^i b^1 $ et $ a^6 b^1 $ sont conjugués.
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### 1. Rappel sur le groupe diédral $ D_{11} $
Le groupe diédral $ D_{11} $ est le groupe des isométries du polygone régulier à 11 côtés. Il est de cardinal $ 22 $ et se compose de 11 éléments de rotation $ a^k $ et 11 éléments de réflexion $ b a^k $, où :
- $ a $ est un élément de rotation de $ \frac{2\pi}{11} $ radians,
- $ b $ est un élément de réflexion,
- $ a^{11} = e $ (l'identité),
- $ b^2 = e $,
- $ b a = a^{-1} b $.
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### 2. Conjugaison dans $ D_{11} $
Soit $ g \in D_{11} $. On dit que $ x \sim y $ si $ g x g^{-1} = y $, c'est-à-dire $ x $ et $ y $ sont conjugués.
Dans $ D_{11} $, on peut déterminer la classe de conjugaison d’un élément $ a^k b^m $ en utilisant la …
Verdict : faux · Fichier source : donnees_labo/mesures_publiques/universitaire/aveugle_licence12n__sophie_neuf105-sophie_apres106.json + juge_licence12n__sophie_neuf105-sophie_apres106.json
Limites de la trace
Un exemple ne prouve que le verdict de ce journal et de cette population. Les sources cherchées sont listées ci-dessus ; lorsqu’elles ne contiennent pas de réponse complète, la page le dit au lieu de remplir le trou.